出来る事の差はありません。
スペックの違い、操作方法の違いはあります。

スペック面での違いとしては、デザインとスピーカーの数（Google Homeは3つ、Google Home Miniは１つ）が挙げられます。
Google Homeは高エクスカーションスピーカーを搭載しており、クリアな高音、迫力ある重低音を再現する事ができます。つまり、Google Homeの方が音質がよく、音楽の機能を重視する方にはGoogle Homeがオススメです。
※スペック等はこちらを参照してください。
　▼Google Home
　▼Google Home Mini

操作方法については、
・ボリュームの変更：Google Homeは本体上部をタップ／Google Home Miniは左右をタップ
・初期化：Google HomeはMuteボタンを１０秒以上長押し／Google Home Miniは底面の小さな◯を10秒以上長押し
に違いがあります。